Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的經(jīng)過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為3，離心率為

1

2

（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)直線l：y=kx+m（|k|≤

1

2

）與橢圓C相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，且

OP

=

OA

+

OB

，其中P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由已知橢圓的經(jīng)過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為3，離心率為

1

2

，求得a，b，從而寫出橢圓C的方程；
（Ⅱ）先對(duì)k 分類討論：當(dāng)k=0時(shí)，P（0，2m）在橢圓C上，解得m=±

3

2

，所以|OP|=

3

；當(dāng)k≠0時(shí)，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得|OP|的取值范圍，從而解決問題．

解答：解：（I）∵橢圓的經(jīng)過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為3，離心率為

1

2

∴

b2

a

=

3

2

，

a2-b2

a2

=

1

4

∴a²=4，b²=3
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）當(dāng)k=0時(shí)，P（0，2m）在橢圓C上，解得m=±

3

2

，
所以|OP|=

3

當(dāng)k≠0時(shí)，則由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消y化簡(jiǎn)整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0③
設(shè)A，B，P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
則x₀=x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

6m

3+4k2

．
由于點(diǎn)P在橢圓C上，所以

x02

4

+

y02

3

=1．
從而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化簡(jiǎn)得4m²=3+4k²，經(jīng)檢驗(yàn)滿足③式．
又|OP|=

x02+y02

=

64k2m2 (3+4k2)2 + 36m2 (3+4k2)2

=

4- 3 3+4k2

因?yàn)?＜|k|≤

1

2

，得3＜4k²+3≤4，有

3

4

≤

3

3+4k2

＜1，
故

3

＜|OP|≤

13

2

．
綜上，所求|OP|的取值范圍是[

3

，

13

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題．當(dāng)研究橢圓和直線的關(guān)系的問題時(shí)，�？衫�用聯(lián)立方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理來解決．