Question

已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線與x軸交于點(diǎn)B且與直線交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為點(diǎn)M直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：N、B、P三點(diǎn)共線；
（3）求△BMN的面積．的最大值．

Answer 1

（1）解：因?yàn)?IMG style="WIDTH: 52px; HEIGHT: 19px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120822/201208222004205781510.png">，，
所以且，
所以a=2，c=1
所以，
所以橢圓方程為：
（2）證明：設(shè)直線l：y=k（x﹣1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則由，消去y
得（3+4k²）x﹣8k²x+4k²﹣12=0，
所以
由于P（8﹣x₁，y₁），，
因?yàn)椋?﹣x₁）y₂﹣（x₂﹣4）y₁
=4（y₁+y₂）﹣x₁y₂﹣y₁x₂
=4k（x₁+x₂﹣2）﹣2kx₁x₂+k（x₁+x₂）
=
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，也滿足故共線，所以N、B、P三點(diǎn)共線
（3）解：記d為B到l的距離，則，
，
所以=
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，，
所以△BMN的面積的最大值為