Question

19．設(shè) F₁、F₂分別是雙曲線 C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．在此雙曲線上，且 PF₁⊥PF₂，則雙曲線C的離心率e=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由PF₁⊥PF₂可得$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}+c}•\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}-c}$=-1，求出c，將點(diǎn)P代入可得3b²-a²=2a²b²，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：將點(diǎn)P代入可得3b²-a²=2a²b²，再由PF₁⊥PF₂可得$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}+c}•\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}-c}$=-1
∴c²=2，則根據(jù)c²=a²+b²可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．