Question

已知方程x²-8x+6lnx-m=0有三個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m范圍為______．

Answer 1

方程x²-8x+6lnx-m=0有三個不同的實(shí)數(shù)解
則函數(shù)m（x）=x²-8x+6lnx-m的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點(diǎn)．
∵m（x）=x²-8x+6lnx-m，
∴?′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)，
當(dāng)x∈（0，1）時，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，3）時，m'（x）＜0，m（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（3，+∞）時，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x=1，或x=3時，m'（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=-m-7，m（x）_最小值=m（3）=-m+6ln3-15．
∵當(dāng)x充分接近0時，m（x）＜0，當(dāng)x充分大時，m（x）＞0．
∴要使m（x）的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點(diǎn)，必須且只須

?(x)最大值=-m-7＞0 ?(x)最小值=-m+6ln3-15＜0

即6ln3-15＜m＜-7．
故答案為：6ln3-15＜m＜-7