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已知△ABC中，
3
tanA•tanB-(tanA+tanB)=
3
，且外接圓半徑R=1．
（1）求角C的大��；
（2）求△ABC周長的取值范圍．
分析：（1）由已知條件利用兩角和差的正切公式求得△ABCtan（A+B）=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
3
，再由誘導公式、三角形內(nèi)角和公式求得tanC=
3
，從而求得C 的值．
（2）由于△ABC外接圓半徑R=1，由正弦定理可得c的值．再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，以及a+b=
2sinA+2sinB=2
3
cos
A-B
2
≤2
3
，求得△ABC周長a+b+c的取值范圍．
解答：解：（1）∵已知△ABC中，
3
tanA•tanB-(tanA+tanB)=
3
，
∴
3
tanA•tanB-tan(A+B)(1-tanAtanB)=
3
，
即
3
tanA•tanB+tanC(1-tanAtanB)=
3
，即
3
tanA•tanB+tanC-tanAtanBtanC=
3
．
再由△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 可得，tanA+tanB=
3
 （tanA•tanB-1），
∴tan（A+B）=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
3
=-tanC，∴tanC=
3
，C=
π
3
．
 （2）由于△ABC外接圓半徑R=1，由正弦定理可得 c=2R•sinC=
3
．
由于三角形任意兩邊之和大于第三邊，∴a+b＞c=
3
，
故△ABC周長大于2
3
．
再由a+b=2sinA+2sinB=2（sinA+sinB）=2×2sin
A+B
2
•cos
A-B
2
 
=4sin
π
3
•cos
A-B
2
=2
3
cos
A-B
2
≤2
3
，（當且僅當A=B時，取等號）．
可得三角形的周長 a+b+c≤2
3
+
3
=3
3
，
故△ABC周長的取值范圍為（2
3
，3
3
]．
點評：本題主要考查兩角和差的正切公式，誘導公式以及正弦定理的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，a=10，b=5
6
，A=45°，則B等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊長，S表示該三角形的面積，且2cos2B=cos2B+2cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，S=2
3
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•湛江二模）已知△ABC中，B=C=
2π
5
，記cosA=x，cosB=cosC=y．
（Ⅰ）求證：1+y=2x2；
（Ⅱ）若△ABC的面積等于2sin
π
5
，求AC邊上的中線BD的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•寶坻區(qū)一模）已知△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，當a2＞b2+c2且
cosA
cot
A
2
-tan
A
2
=
3
10
時，求sin2A的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•眉山二模）（1）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，
AB
•
AC
=3，a=2
5
，b+c=6，求cosA．
（2）設f（x）=-2cos2
π
8
x+sin（
π
4
x-
π
6
）+1，當x∈[-
2
3
，0]時，求y=f（x）的最大值．

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