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正項數(shù)列{xn}中，對于任何n∈N*，xn2≤xn-xn+1恒成立.求證：對于任何n∈N*,xn＜恒成立.

證明:①n=1時，由x1-x12≥x2＞0解得0＜x1＜1，原不等式成立.

②設n=k時原不等式成立，即0＜xk＜成立，由于xk+1≤xk-xk2恒成立.

（1）0＜xk≤時，xk+1≤xk-xk2＜xk≤成立.

(2)＜xk＜時，xk+1≤xk(1-xk)＜·(1-)=.

由（1）,（2）可知n=k+1時原不等式成立.

由①②可知對于任何n∈N*,xn＜成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

18、已知數(shù)列{xn}的項數(shù)為定值p（p∈N*，p＞2），其中xi∈{u，v}（i=1，2，…，p）．若存在一個正整數(shù)t（2≤t≤p-1），使數(shù)列{xn}中存在連續(xù)的t項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的t項恰好按次序?qū)嗟�，則稱數(shù)列{xn}是“t階Γ數(shù)列”，例如，數(shù)列{xn}：u，v，v，u，v．因為x1，x2與x4，x5按次序?qū)嗟�，所以�?shù)列{xn}是“2階Γ數(shù)列”．若項數(shù)為p的數(shù)列{xn}一定是“3階Γ數(shù)列”，則p的最小值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）已知直角△ABC的三邊長a，b，c，滿足a≤b＜c
（1）在a，b之間插入2011個數(shù)，使這2013個數(shù)構(gòu)成以a為首項的等差數(shù)列{an }，且它們的和為2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均為正整數(shù)，且a，b，c成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且Tn=-S1+S2-S3+…+(-1) nSn，求滿足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比數(shù)列，若數(shù)列{Xn}滿足
5
Xn=(
c
a
)n-(-
a
c
)n（n∈N+），證明：數(shù)列{
Xn
 }中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構(gòu)成直角三角形，且Xn是正整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

正項數(shù)列{xn}中，對于任何n∈N*，xn2≤xn-xn+1恒成立.求證：對于任何n∈N*,xn＜恒成立.

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年上海市寶山區(qū)吳淞中學高三（下）3月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知數(shù)列{xn}的項數(shù)為定值p（p∈N*，p＞2），其中xi∈{u，v}（i=1，2，…，p）．若存在一個正整數(shù)t（2≤t≤p-1），使數(shù)列{xn}中存在連續(xù)的t項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的t項恰好按次序?qū)嗟�，則稱數(shù)列{xn}是“t階Γ數(shù)列”，例如，數(shù)列{xn}：u，v，v，u，v．因為x1，x2與x4，x5按次序?qū)嗟�，所以�?shù)列{xn}是“2階Γ數(shù)列”．若項數(shù)為p的數(shù)列{xn}一定是“3階Γ數(shù)列”，則p的最小值是（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11

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