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若n∈N,求證:xⁿ⁺¹+(x+1)^2n-1能被x²+x+1整除.

證明:(1)當n=1時,命題顯然成立.

(2)設當n=k時,x^k+1+(x+1)^2k-1能被x²+x+1整除.

法1:(添項)當n=k+1時,

x^k+2+(x+1)^2k+1=(x+1)²(x+1)^2k-1+x^k+2+(x+1)²x^k+1-(x+1)²x^k+1

=(x+1)²［(x+1)^2k-1+x^k+1］-(x²+x+1)x^k+1,

而上面各項都能被x²+x+1整除,即n=k+1時成立.

法2:(拆項)當n=k+1時

x^k+2+(x+1)^2k+1=(x+1)²(x+1)^2k-1+x^k+2=(x²+x+1)(x+1)^2k-1+x［(x+1)^2k-1+x^k+1］,

以上各項都能被x²+x+1整除,即n=k+1時成立.

由(1)(2)命題得證.

練習冊系列答案

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