Question

已知數列{a_n}，S_n為其前n項的和，S_n=n-a_n+9，n∈N^*
（1）證明數列{a_n}不是等比數列；
（2）令b_n=a_n-1，求數列{b_n}的通項公式b_n；
（3）已知用數列{b_n}可以構造新數列．例如：{3b_n}，{2b_n+1}，{}，{}{}，{sinb_n}…，請寫出用數列{b_n}構造出的新數列{p_n}的通項公式，滿足數列{p_n}是等差數列．

Answer 1

（1）證明：n=1時，S₁=1-a₁+9，∴a₁=5-------------------------------------（1分）
n=2時，S₂=2-a₂+9，∴a₂=3-------------------------------------------------------------------------（2分）
n=3時，S₃=3-a₃+9，∴a₃=2------------------------------------------------------------------------（3分）
∵3²≠5×2，∴數列{a_n}不是等比數列--------------------------（4分）
（2）解：∵S_n=n-a_n+9①，∴n≥2時，S_n-1=n-1-a_n-1+9②，
①-②得a_n=1-a_n+a_n-1，即2a_n=1+a_n-1，-----------------------------------（6分）
∴2（a_n-1）=a_n-1-1-----------------------------------（8分）
∵b_n=a_n-1，∴2b_n=b_n-1，
∴數列{b_n}為首項為4，公比為的等比數列--------------------------------------------（9分）
∴b_n=4•--------------------------（10分）
（3）解：p_n=log_ab_n，a＞0且a≠1----------------------------------------（13分）
n≥2時，p_n-p_n-1=log_ab_n-log_ab_n-1==為常數
∴數列{p_n}為等差數列----------------------------------------------（16分）
分析：（1）利用S_n=n-a_n+9，計算前三項，即可得到結論；
（2）再寫一式，兩式相減，可得數列{b_n}為首項為4，公比為的等比數列，從而可求數列{b_n}的通項公式b_n；
（3）利用對數函數的性質，構造數列即可．
點評：本題考查等比數列的判定，考查數列的通項，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．