Question

如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，頂點A1在底面ABC上的射影恰為點B，且AB=AC=A1B=2.

(1)證明：平面A1AC⊥平面AB1B；

（2）若點P為B1C1的中點，求三棱錐P-ABC與四棱錐P-AA1B1B的體積之比.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）1:1.

【解析】

試題分析：（1）根據直線與平面垂直的性質可得,而已知，由直線與平面垂直的判定定理可得面，根據平面與平面垂直的判定定理可得平面平面；

（2）由已知可知，=2是三棱錐P ABC的高，△ABC是等腰直角三角形，可計算出求三棱錐P ABC的體積.由于AC⊥平面AB1B，點P為B1C1的中點，可知點P到平面距離等于點到平面的距離的一半,計算出四棱錐P AA1B1B的體積即可求解.

試題解析：證明：（1）由題意得：平面ABC，

∴, 2分

又，

∴AC垂直平面AB1B， 3分

∵面，∴平面平面； 5分

（2）在三棱錐中，因為，

底面是等腰直角三角形，

又因為點P到底面的距離=2，所以. 6分

由（1）可知AC⊥平面AB1B，

因為點P在B1C1的中點，

所以點P到平面AA1B1B距離h2等于點C1到平面AA1B1B的距離的一半，即h2=1. 8分

, 10分

所以三棱錐P ABC與四棱錐P AA1B1A1的體積之比為1:1. 12分

考點：1.直線與平面垂直的性質；2.平面與平面垂直的判斷和性質；3.錐體的體積.