Question

如圖,在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,AA₁=,AB=1,E是DD₁的中點.

(1)求證:AC⊥B₁D;

(2)求二面角E-AC-B的大小.

Answer 1

解法一:(1)證明:連結(jié)BD.

∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱,

∴B₁B⊥平面ABCD.

∴BD是B₁D在平面ABCD上的射影.

∵AC⊥BD,

根據(jù)三垂線定理,得AC⊥B₁D.

(2)設(shè)AC∩BD=F,連結(jié)EF.

∵DE⊥平面ABCD,且AC⊥BD,

根據(jù)三垂線定理得AC⊥FE,

又AC⊥FB,

∴∠EFB是二面角EACB的平面角.

在Rt△EDF中,由DE=DF=,得∠EFD=45°.

∴∠EFB=180°-45°=135°,

即二面角E-AC-B的大小是135°.

解法二:∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱,

∴DA、DC、DD₁兩兩互相垂直.

如圖,以D為原點,直線DA,DC,DD₁分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B₁(1,1,).

(1)證明:∵=(-1,1,0),=(1,1,),

∴·=0.

∴AC⊥B₁D.6分

(2)連結(jié)BD,設(shè)AC∩BD=F,連結(jié)EF.

∵DE⊥平面ABCD,且AC⊥BD,

∴AC⊥FE,AC⊥FB.

∴∠EFB是二面角EACB的平面角.

∵底面ABCD是正方形,

∴F(,,0).

∴=(,,0),=(,,).

∴cos〈,〉=,