Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

e^2x-ax（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=1，函數(shù)g（x）=（x-m）f（x）-

1

4

e^2x+x²+x在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，求整數(shù)m 的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)a分類討論，分別令導(dǎo)數(shù)大于零，小于零，解出x的范圍即可；
（2）由于函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)g^′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，再分離參數(shù)m得到m≤

x+1

e2x-1

+x在（0，+∞）恒成立，此時問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)

x+1

e2x-1

+x在區(qū)間（0，+∞）上的最小值問題．

解答：解：（Ⅰ）定義域為（-∞，+∞），f′（x）=e^2x-a，
當a≤0時，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；…（2分）
當a＞0時，由f^′（x）=0得x=

lna

2

，且當x∈(-∞，

lna

2

)時，f^′（x）＜0，
當x∈(

lna

2

，+∞)時f^′（x）＞0，
所以f（x）在x∈(-∞，

lna

2

)為減函數(shù)，在x∈(

lna

2

，+∞)為增函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）當a=1時，g(x)=(x-m)(

1

2

e2x-x)-

1

4

e2x+x2+x，
若g（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，
則g′（x）=（x-m）（e^2x-1）+x+1≥0在（0，+∞）恒成立，
即m≤

x+1

e2x-1

+x在（0，+∞）恒成立，
令h(x)=

x+1

e2x-1

+x，x∈（0，+∞）；…（6分）
h′(x)=

e2x(e2x-2x-3)

(e2x-1)2

，x∈（0，+∞）；令L（x）=e^2x-2x-3，
可知L(

1

2

)=e-4＜0，L（1）=e²-5＞0，
又當x∈（0，+∞）時L′（x）=2e^2x-2＞0，
所以函數(shù)L（x）=e^2x-2x-3在x∈（0，+∞）只有一個零點，…（8分）
設(shè)為a，即e^2a=2a+3，且a∈(

1

2

，1)；
由上可知當x∈（0，a）時L（x）＜0，即h′（x）＜0；當x∈（a，+∞）時L（x）＞0，即h^′（x）＞0，
所以h(x)=

x+1

e2x-1

+x，x∈（0，+∞），有最小值h(a)=

a+1

e2a-1

+a，…（10分）
將e^2a=2a+3代入上式可得h（a）=

1

2

+a，又因為a∈(

1

2

，1)，所以h（a）∈(1，

3

2

)，
由于m≤h（x）恒成立，所以m≤h（a），又因為m為整數(shù)，
所以m≤1，所以整數(shù)m的最大值為1．…（12分）

點評：本題考查倒數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題，要求考生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．