Question

14．在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解》（1261年）一書中，用如圖（1）的三角形，解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．在歐洲直到1623年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊士•帕斯卡的著作（1655年）介紹了這個(gè)三角形．近年來(lái)國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó)，所以有些書上稱這是“中國(guó)三角形”（ Chinese triangle）如圖（1），17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖（2）．在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式：C_n^r+C_n^r+1=C_n+1^r+1，其中n是行數(shù)，r∈N．請(qǐng)類比上式，在萊布尼茲三角中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是$\frac{1}{{C_{n+1}^1C_n^r}}=\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^r}}+\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^{r+1}}}$

Answer 1

分析 這是一個(gè)考查類比推理的題目，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖中給出的萊布尼茨三角形，并從三解數(shù)陣中，找出行與行之間數(shù)的關(guān)系，探究規(guī)律并其表示出來(lái)．

解答 解：類比觀察得，將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)$\frac{1}{{C_{n+1}^1}}$，
而相鄰兩項(xiàng)之和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù)，所以類比式子$C_n^r+C_n^{r+1}=C_{n+1}^{r+1}$，有$\frac{1}{{C_{n+1}^1C_n^r}}=\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^r}}+\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^{r+1}}}$．
故答案為：$\frac{1}{{C_{n+1}^1C_n^r}}=\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^r}}+\frac{1}{{C_{n+2}^1C_{n+1}^{r+1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 這是一道新運(yùn)算類的題目，其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，易得最終結(jié)果．