Question

8．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（-x）=f（2+x），f（2）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　�。�

• A． （-2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)和已知即可得出其單調(diào)性．再利用函數(shù)的奇偶性和已知可得g（0）=1，即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．
∴g（x）在R上單調(diào)遞減．
∵f（-x）=f（2+x），
∴f（x+1）=f（-x+1），
∴函數(shù)關(guān)于x=1對稱，
∴f（0）=f（2）=1，
原不等式等價為g（x）＜1，
∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1．
∴g（x）＜1?g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上單調(diào)遞減，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜e^x的解集為（0，+∞），
故選：D．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)的奇偶性及對稱性，屬于難題．