Question

【題目】已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線，并在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)作切線交雙曲線于兩個(gè)不同點(diǎn)，中點(diǎn)為，若，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在直角三角形，根據(jù)可得通徑的一半與焦距的關(guān)系，從該關(guān)系式中可求離心率.

（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去后利用韋達(dá)定理可用表示及 ，再利用與圓相切可得，利用該式化簡(jiǎn)可得的值為.

（1）根據(jù)已知條件得，

∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為，軸，.

在直角三角形中，，

解得，于是所求雙曲線方程為.

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，于是，

此時(shí)，.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，切線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

于是有，消去得.

故.

∵為的中點(diǎn)，即坐標(biāo)為.

則，

，

又點(diǎn)到直線的距離為即.

代入得：，，故.