Question

數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n－a_n，先計算數(shù)列的前4項(xiàng)，再猜想a_n并證明之.

Answer 1

解：由a₁=2－a₁得a₁=1；

由a₁+a₂=2×2－a₂，得a₂=；

由a₁+a₂+a₃=2×3－a₃，得a₃=；

由a₁+a₂+a₃+a₄=2×4－a₄，得a₄=.

猜想a_n=.

下面證明猜想正確.

（1）當(dāng)n=1時，由上面的計算可知猜想是成立的.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立，就是a_k=，

此時S_k=2k－a_k=2k－.

當(dāng)n=k+1時，由S_k+1=2（k+1）－a_k+1得

S_k+a_k+1=2（k+1）－a_k+1.

∴a_k+1=［2（k+1）－S_k］

=k+1－（2k－）=.

這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立.

由（1）和（2）可以斷定，a_n=對任意正整數(shù)n都成立.

點(diǎn)評：通過此例可看到觀察、歸納、猜想、證明的思想方法.其基本思路是：在探討某些問題時，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)形成解決問題的初步思路；然后用歸納方法進(jìn)行試探，提出猜想；最后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.