Question

11．已知a≥1，x≥0，證明：不等式e^x-x-1≤$\frac{a{x}^{2}{e}^{x}}{2}$．

Answer 1

分析 設f（x）=e^x-x-1-$\frac{a{x}^{2}{e}^{x}}{2}$，求出導數(shù)，令g（x）=f′（x），求出導數(shù)，判斷導數(shù)的符號，確定單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：設f（x）=e^x-x-1-$\frac{a{x}^{2}{e}^{x}}{2}$，
f′（x）=e^x-1-$\frac{a}{2}$（2x+x²）e^x，
令g（x）=f′（x），g′（x）=e^x-$\frac{a}{2}$（2+4x+x²）e^x=e^x（1-a-2x-$\frac{a}{2}$x²），
由a≥1，x≥0，可得1-a-2x-$\frac{a}{2}$x²≤0，e^x＞0，
即有g′（x）≤0，g（x）在x≥0遞減，
可得g（x）≤g（0）=0，即f′（x）≤0，
可得f（x）在x≥0遞減，可得f（x）≤f（0）=0，
則有e^x-x-1≤$\frac{a{x}^{2}{e}^{x}}{2}$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用構造函數(shù)，由導數(shù)判斷單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．