Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+2n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得n=1，可得a₁=1或b₁=1；再將n換為n-1，相減即可得到所求通項；
（Ⅱ）求得a_n•b_n=（2n+1）•2^n-1，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=1+2=3，
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
對n=1也成立，則a_n=2n+1（n∈N^*）；
當n=1時，b₁=T₁=2-1=1，
當n＞1時，b_n=T_n-T_n-1=2ⁿ-1-2^n-1+1=2^n-1，
對n=1也成立，則b_n=2^n-1（n∈N^*）；
（Ⅱ）a_n•b_n=（2n+1）•2^n-1，
則前n項和為M_n=3•1+5•2+7•4+…+（2n+1）•2^n-1，
2M_n=3•2+5•4+7•8+…+（2n+1）•2ⁿ，
兩式相減，可得-M_n=3+2（2+4+8+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=3+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ，
化簡可得，M_n=1+（2n-1）•2ⁿ．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，屬于中檔題．