Question

已知拋物線y²=4px(p>0),O為頂點,A、B為拋物線上兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點，求M的軌跡方程.

Answer 1

x²+y²-4px=0（除去原點）為所求.

解析:

設(shè)M（x₀，y₀）,則k_OM=，k_AB=-，

直線AB方程是y=-（x-x₀）+y₀.

由y²=4px可得x=,將其代入上式，整理得

x₀y²-（4py₀）y-4py₀²-4px₀²=0.①

此方程的兩根y₁、y₂分別是A、B兩點的縱坐標(biāo).

根據(jù)韋達(dá)定理得，由①可得y₁·y₂=，

又∵A、B在拋物線上，∴A(，y₁)、B(，y₂).

∵OA⊥OB，∴k_OA·k_OB=-1.

∴·=-1.∴y₁y₂=-16p².

∴=16p².

化簡得x₀²+y₀²-4px₀=0，即x²+y²-4px=0（除去原點）為所求.