Question

在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且=，又b=，則△ABC的面積的最大值    ．

Answer 1

【答案】分析：利用正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0，得到cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，由b及cosB的值，利用余弦定理表示出關(guān)于a與c的關(guān)系式，根據(jù)基本不等式及等式的性質(zhì)得到ac的最大值，由sinB及ac的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：解：根據(jù)正弦定理得：=，
又=，
∴=，即sinBcosC=3sinAcosB-cosBsinC，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又A+B+C=π，即B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴sinA=3sinAcosB，又sinA≠0，
∴cosB=，又B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB==，
∵b=，cosB=，
∴根據(jù)余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-ac，
又a²+c²≥2ac，即3+ac≥2ac，
∴ac≤，即ac的最大值為，
則△ABC的面積的最大值S=acsinB=××=．
故答案為：
點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．