Question

【題目】已知二次函數(shù)對都滿足且，設(shè)函數(shù)（， ）．

（Ⅰ）求的表達式；

（Ⅱ）若，使成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)， ，求證：對于

恒有

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)=直接可得答案．（Ⅱ）表示出函數(shù)f（x）的解析式，對m進行大于0、小于、和等于0進行分析可得答案．（Ⅲ）先根據(jù)H（x）的導(dǎo)數(shù)小于等于0判斷出H（x）單調(diào)遞減的，只要證明|H（m）-H（1）|<1即可．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)，于是

所以 又，則．所以．

（Ⅱ）

當(dāng)m>0時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域為R；

當(dāng)m=0時， 對， 恒成立；

當(dāng)m<0時，由，列表：

x
	－	0	＋
	減	極小	增

由題意

故使成立，實數(shù)m的取值范圍）．

（Ⅲ）因為對， 所以在內(nèi)單調(diào)遞減．

于是

.

記，則

所以函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)，

所以，故命題成立．