Question

已知過點M（a，0）（a>0）的動直線l交拋物線y²=4x于A，B兩點，點N與點M關于y軸對稱。

（1）當a=1時，求證：∠ANM=∠BNM；
（2）對于給定的正數a，是否存在直線l'：x=m，使得l'被以AM為直徑的圓所截得的弦長為定值？如果存在，求出直線l'的方程；如果不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1）設l：x-1=ny，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得y²-4ny-4=0，
y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4


，

∴∠ANM=∠BNM。
（2）設點A（x，y），則以AM為直徑的圓的圓心為，
假設滿足條件的直線l存在，直線l'被圓O'截得的弦為EF，
則
=x²-2ax+a²+4x-4m²+4m（x+a）-x²-2ax-a²
=（4m-4a+4）x+4ma-4m²
弦長|EF|為定值，則4m-4a+4=0，即m=a-1，
此時|EF|²=4m（a-m）=4（a-1），
所以當a>1時，存在直線l：x=a-1，截得的弦長為
當0＜a≤1時，不存在滿足條件的直線l'。