Question

8．已知a∈R，二次函數(shù)f（x）=ax²-2x-2a，設(shè)不等式f（x）＞0的解集為A，又集合B={x|$\frac{3-x}{x-1}$＞0}，若A∩B=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 注意到△=4+8a²＞0，則函數(shù)有兩個零點，由a的正負，確定不等式解集的形式．結(jié)合著數(shù)軸分類討論．

解答 .解：由題意可知二次函數(shù)a≠0，
令f（x）=0解得其兩根為x₁=$\frac{1+\sqrt{1+2{a}^{2}}}{a}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{1+2{a}^{2}}}{a}$，
（i）當a＞0時，x₁＞0，x₂＜0，
A={x|x＜x₂}∪{x|x＞x₁}，則A∩B=ϕ的充要條件是x₁≥3，
即$\frac{1+\sqrt{1+2{a}^{2}}}{a}$≥3，
解得a∈（0，$\frac{6}{7}$]
（ii）當a＜0時，x₁＜0，x₂＞0，A={x|x₁＜x＜x₂}，
A∩B=ϕ的充要條件是x₂≤1，
即$\frac{1-\sqrt{1+2{a}^{2}}}{a}$≤1，
解得a∈[-2，0）
綜上，使A∩B=ϕ成立的a的取值范圍為[-2，0）∪（0，$\frac{6}{7}$]．

點評 在對集合的相關(guān)問題進行求解時，分類討論時經(jīng)常考查到的思想方法，另外對于一元二次不等式的解法也是一個基本的知識點，要熟練掌握