Question

已知n次多項(xiàng)式P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n.

如果在一種算法中,計(jì)算x₀^k(k=2,3,4, …,n)的值需要k-1次乘法,計(jì)算P₃(x₀)的值共需要9次運(yùn)算(6次乘法,3次加法),那么計(jì)算P₁₀(x₀)共需要________次運(yùn)算.

下面給出一種更相減損術(shù)運(yùn)算次數(shù)的算法:P₀(x)=a₀,P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0,1,2, …,n-1).利用該算法,計(jì)算P₃(x₀)的值共需要6次運(yùn)算,計(jì)算P₁₀(x₀)的值共需要________次運(yùn)算.

Answer 1

思路分析:計(jì)算P₃(x₀)時(shí)為P₃(x₀)=a₀x₀³+a₁x₀²+a₂x₀+a₃,其中x₀^k需k-1次乘法,

∴a_n-k·x₀^k共需k次乘法.

上式中乘法運(yùn)算為3+2+1=6次,另外還有3次加法,共9次.

由此產(chǎn)生規(guī)律:

當(dāng)計(jì)算P₁₀(x₀)時(shí),有P₁₀(x₀)=a₀x₀¹⁰+a₁x₀⁹+…+a₁₀.

計(jì)算次數(shù)為+10=65次.

第2個(gè)空中需注意,

P₃(x₀)=xP₂(x₀)+a₃,

P₂(x)=xP₁(x₀)+a₂,

P₁(x)=xP₀(x₀)+a₁.

顯然P₀(x₀)為常數(shù)不需計(jì)算.

∴計(jì)算為每次一個(gè)乘運(yùn)算和一個(gè)加運(yùn)算共3×2=6次.

由此可推得

P₁₀(x₀)=xP₉(x₀)+a₁₀,

P₉(x₀)=xP₈(x₀)+a₉,

……

P₁(x)=xP₀(x₀)+a₁.

答案:65  20