Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=

1

3

x³-2x²+（3+a）x，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)在[-1，1]上的最大值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）a=1時，f′（x）=x²-4x+4=（x-2）²≥0，由此能求出函數(shù)在[-1，1]上的最大值．
（Ⅱ）由f′（x）=x²-4x+3+a=（x-2）²+a-1，利用導數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=1時，f（x）=

1

3

x³-2x²+4x，
∴f′（x）=x²-4x+4，
由f′（x）=0，得x=2，
∵2∉[-1，1}，∴x=2不合題意，舍去．
∵f′（x）=x²-4x+4=（x-2）²≥0，
∴f（x）在R上是增函數(shù)，
∴函數(shù)在[-1，1]上的最大值為f（1）=

7

3

．
（Ⅱ）∵f（x）=

1

3

x³-2x²+（3+a）x，a∈R，
∴f′（x）=x²-4x+3+a=（x-2）²+a-1，
①當a＜1時，由f′（x）＞0，得x＜1-

1-a

或x＞1+

1-a

，
由f′（x）＜0，得1-

1-a

＜x＜1+

1-a

，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，1-

1-a

），（1+

1-a

，+∞），
f（x）的減區(qū)間為（1-

1-a

，1+

1-a

）；
②當a=1時，∵f′（x）=x²-4x+4=（x-2）²≥0，
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，+∞），無減區(qū)間；
③當a＞1時，f′（x）=x²-4x+3+a=（x-2）²+a-1＞0，
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，+∞），無減區(qū)間．
綜上所述，當a＜1時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，1-

1-a

），（1+

1-a

，+∞），
f（x）的減區(qū)間為（1-

1-a

，1+

1-a

）；
當a≥1時，（x）的增區(qū)間是（-∞，+∞），無減區(qū)間．

點評：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．