Question

15．若方程|x²-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）的取值范圍是（4$\sqrt{2}$，8+2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 方程|x²-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄，實(shí)際上是拋物線y=|x²-2x-1|和直線y=t的四個(gè)不同的交點(diǎn)．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答．

解答 解：如圖，由|x²-2x-1|-t=0得到：t=|（x-1）²-2|，則0＜t＜2．
∴2＜2+t＜4.0＜2-t＜2．
∴4$\sqrt{2}$＜4$\sqrt{2+t}$＜8，0＜2$\sqrt{2-t}$＜2$\sqrt{2}$，
∴4$\sqrt{2}$＜4$\sqrt{2+t}$+2$\sqrt{2-t}$＜8+2$\sqrt{2}$．
∵方程|x²-2x-1|-t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁+x₄=x₂+x₃=2，x₁•x₄=-1-t，x₂•x₃=-1+t，
∴2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）
=2$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{4}}$+$\sqrt{（{x}_{2}+{x}_{3}）^{2}-4{x}_{2}{x}_{3}}$
=2$\sqrt{4+4（1+t）}$+$\sqrt{4-4（-1+t）}$
=4$\sqrt{2+t}$+2$\sqrt{2-t}$，
∴4$\sqrt{2}$＜2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）＜8+2$\sqrt{2}$．
故答案是：（4$\sqrt{2}$，8+2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的情況和含有絕對(duì)值的函數(shù)的解法，考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．