Question

（2013•嘉興二模）已知函數(shù)f(x)=

a

2

x2-2x+(a-4)lnx，a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，2）上有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)定義域，a=1時求出f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，由導數(shù)符號即得函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求導數(shù)f′（x）=

ax2-2x+a-4

x

（x＞0），令h（x）=ax²-2x+a-4，則f（x）在（1，2）上有極值，等價于h（x）=ax²-2x+a-4=0有兩個不等根且在（1，2）上有根．分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域解決；

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
若a=1，則f（x）=

1

2

x2-2x-3lnx．
f′（x）=x-2-

3

x

=

x2-2x-3

x

=

(x-3)(x+1)

x

．
當x∈（0，3）時，f′（x）＜0；當x∈（3，+∞）時，f′（x）＞0．
所以函數(shù)有極小值f（3）=-

3

2

-3ln3，無極大值．
（II）f′（x）=ax-2+

a-4

x

=

ax2-2x+a-4

x

（x＞0）．
記h（x）=ax²-2x+a-4．
若f（x）在（1，2）上有極值，則h（x）=0有兩個不等根且在（1，2）上有根．
由ax²-2x+a-4=0得a（x²+1）=2（x+2），
所以a=

2(x+2)

x2+1

=

2

(x+2)+ 5 x+2 -4

．
令x+2=t，則t=x+2∈（3，4），y=t+

5

t

-4在（3，4）上遞增，
所以t+

5

t

-4∈（

2

3

，

5

4

），

2

t+ 5 t -4

∈(

8

5

，3)，
故a∈（

8

5

，3），
經(jīng)檢驗當a∈∈（

8

5

，3）時，方程h（x）=0無重根．
故函數(shù)f（x）在（1，2）上有極值時a的取值范圍為（

8

5

，3）．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)在某點取得極值的條件，解決（II）問的關(guān)鍵是對問題進行等價轉(zhuǎn)化，變?yōu)榉匠谈�的分布問題加以解決．