Question

（2011•海淀區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=t，a_n+1-a_n+2=0（t∈N^*，n∈N^*），記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和的最大值為f（t），則f（t）=

t2+2t 4 (t為偶數(shù)) (t+1)2 4 (t為奇數(shù))

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知數(shù)列{a_n}是以t為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，可求其通項(xiàng)公式a_n=-2n+t+2，前n項(xiàng)和S_n=（-n+t+1）•n=-(n-

t+1

2

)2+

(t+1)2

4

，對(duì)n分奇數(shù)與偶數(shù)討論可得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和的最大值為f（t）．

解答：解：由題意可知數(shù)列{a_n}是以t為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=t+（n-1）×（-2）=-2n+t+2，（t∈N^*，n∈N^*），設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，
則S_n=

[t+(-2n+t+2)]•n

2

=（-n+t+1）•n=-(n-

t+1

2

)2+

(t+1)2

4

，
若t為偶數(shù)，則n=

t

2

或n=

t+2

2

時(shí)，S_nmax=

t2+2t

4

；
若t為奇數(shù)，則t+1為偶數(shù)，當(dāng)n=

t+1

2

時(shí)，S_nmax=

(t+1)2

4

；
∴f（t）=

t2+2t 4 (t為偶數(shù)) (t+1)2 4 (t為奇數(shù))

故答案為：

t2+2t 4 (t為偶數(shù)) (t+1)2 4 (t為奇數(shù))

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差關(guān)系的確定，著重考查等差數(shù)列的求和及綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于對(duì)t∈N^*，的正確理解與應(yīng)用（需要分類(lèi)討論），屬于中檔題．