Question

【題目】已知橢圓 C：的離心率為，以短軸為直徑的圓被直線 x+y－1 = 0 截得的弦長(zhǎng)為．

(1) 求橢圓 C 的方程；

(2) 設(shè) A， B 分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)， D 為橢圓右準(zhǔn)線 l 與 x 軸的交點(diǎn)， E 為 l上的另一個(gè)點(diǎn)，直線 EB 與橢圓交于另一點(diǎn)F，是否存在點(diǎn) E，使 R)? 若存在，求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）橢圓 C 的方程為：；（2）.

【解析】

（1）利用直線和圓相交所得弦長(zhǎng)公式建立方程，可求得，再結(jié)合離心率可求得的值，由此求得橢圓的方程.（2）求出右準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線的方程并代入橢圓方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，化簡(jiǎn)后求得點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）圓心為（0,0），半徑為R,，依題意，得：b＝R，

圓心到直線x+y－1 = 0的距離為：，又弦長(zhǎng)為，

所以，R2＝＝3，所以，b＝R＝

離心率e＝＝，即，又，解得：，

橢圓 C 的方程為：

（2）依題意，有A（－2,0），B（2,0），c＝1，

橢圓的右準(zhǔn)線方程為：，所以，D（4,0）

設(shè)l上的另一個(gè)點(diǎn)E（4，t），則

與橢圓聯(lián)立，消去可得.

點(diǎn)B（2,0），F(xiàn)（x，y）是直線與橢圓的2個(gè)交點(diǎn)，所以，由韋達(dá)定理，得：2，

所以，，代入BE方程，解得：，

所以，F(xiàn)（，）.因?yàn)?/span>，所以，與共線，所以，所以..