Question

13．已知在直角坐標系xOy中，直線1的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=4+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數，α∈R），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ-4sinθ=0．
（1）當α=$\frac{3π}{4}$時，求直線l與曲線C的交點的極坐標；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （1）運用極坐標和直角坐標的關系，化曲線C為普通方程，求出直線方程，代入曲線方程，解方程可得交點坐標，再轉化為極坐標；
（2）運用弦長公式和點到直線的距離公式，結合直線的斜率公式，可得傾斜角．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ-4sinθ=0，即為：
ρ²=4ρsinθ，即有x²+y²-4y=0，
當α=$\frac{3π}{4}$時，直線的斜率為-1，直線l的方程為y-4=-x，
聯立直線方程和圓的方程，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
對應的極坐標為（4，$\frac{π}{2}$），（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）；
（2）由（1）曲線C表示圓心為（0，2），半徑為2的圓，
由弦長公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-x9qdefd^{2}}$，
解得d=1，
設直線AB的方程為y-4=kx，（k=tanα），
即有d=$\frac{|0-2+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=±$\sqrt{3}$，
則直線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查參數方程、極坐標方程與普通方程的互化，考查直線和圓的位置關系，以及弦長公式的運用，屬于中檔題．