Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側(cè)棱PD垂直于底面，PD＝DC＝2BC，E為棱PC上的點(diǎn)，且平面BDE⊥平面PBC．

   （1）求證：E為PC的中點(diǎn)；

   （2）求二面角A-BD-E的大�。�

 

Answer 1

【答案】

解法一：（1）證明：如圖，作CF⊥BE，垂足為F，

                由平面BDE⊥平面PBC，

                則CF⊥平面BDE，知CF⊥DE．

                因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC⊥CD，

CD為DE在平面ABCD內(nèi)的射影，

                所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC．

                于是DE⊥PC，又PD＝PC，所以E為PC的中點(diǎn)．…………6分

（2）作EG⊥DC，垂足為G，則EG∥PD，從而EG⊥平面ABCD．

                作GH⊥BD，垂足為H，連接EH，則BD⊥EH，

                故∠EHG為二面角A－BD－E的平面角的補(bǔ)角．………………9分

                不妨設(shè)BC＝1，則PD＝DC＝2，

                在Rt△EGH中，EG＝PD＝1，

                GH＝＝，

                ∴tan∠EHC＝＝．

                因此二面角A－BD－E的大小為－arctan．

解法二：不妨設(shè)BC＝1，則PD＝DC＝2．

            建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，

            則D(0，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)．

       （1）證明：設(shè)＝，則E(0，，)．

            設(shè)a＝ (x1，y1，z1)為面PBC的法向量，

            則a⊥，a⊥，

            又＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)，

            ∴a＝x1＝0，a＝－2y1＋2z1＝0，

            取a＝(0，1，1)．

            設(shè)b＝(x2，y2，z2)為面BDE的法向量，

            則b⊥，b⊥，

            又＝(1，2，0)，＝(0，，)，

            ∴b＝x2＋2y2＝0，b＝＋＝0，

            取b＝(，，1)．

            ∵平面BDE⊥平面PBC，

            ∴a·b＝＋1＝0，＝1．

            所以E為PC的中點(diǎn)．…………………………………………6分

（2）由（Ⅰ）知，b＝(2，－1，1)為面BDE的法向量，

又c＝(0，0，1)為面ADB的法向量，

∵cos<b，c>＝＝，

所以二面角A－BD－E的大小為－arccos．……………12分

【解析】略