Question

15．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為E，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAE面積為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若過(guò)橢圓G的右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線m與G在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，平行于AM的直線l與橢圓G相交于B，C兩點(diǎn)，判斷直線MB，MC是否關(guān)于直線m對(duì)稱，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和實(shí)際行動(dòng)面積公式，及a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求得橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，M，A的坐標(biāo)，求得斜率．可設(shè)BC的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，代入橢圓方程3x²+4y²=12，
可得x²+tx+t²-3=0，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，可得k_MB+k_MC=0，進(jìn)而得到直線MB和直線MC關(guān)于直線m對(duì)稱．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由A（-a，0），E（0，b），
可得△OAE面積為$\sqrt{3}$，
即有$\frac{1}{2}$ab=$\sqrt{3}$，
又a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），
可得M（1，$\frac{3}{2}$），A（-2，0），k_AM=$\frac{\frac{3}{2}-0}{1+2}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BC的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，代入橢圓方程3x²+4y²=12，
可得x²+tx+t²-3=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-3，
由k_MB+k_MC=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{1}+t-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{\frac{1}{2}{x}_{2}+t-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-2t+3+（t-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{{t}^{2}-3-2t+3-{t}^{2}+2t}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=0．
即有直線MB和直線MC關(guān)于直線m對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．