Question

已知函數(shù)f（x）=log₃x+2，x∈[1，3]，則函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x²）的最大值為（　�。�

• A．28
• B．26
• C．27
• D．

  109

  4

Answer 1

分析：由題意，可先求出函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x²）定義域，再化簡(jiǎn)F（x）=[log₃x+2]²+log₃x²+2=（log₃x）²+6log₃x+6，令f（x）=t，將求復(fù)合函數(shù)最值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為F（x）=t²+6t+6=（t+3）²-3，t∈[2，

5

2

]的最值問(wèn)題，即可解出最大值選出正確選項(xiàng)

解答：解：由于f（x）=log₃x+2，x∈[1，3]，函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x²）
∴

x∈[1，3] x 2∈[1，3]

解得x∈[1，

3

]，
∴f（x）∈[2，

5

2

]，令f（x）=t
又F（x）=[log₃x+2]²+log₃x²+2=（log₃x）²+6log₃x+6
∴F（x）=t²+6t+6=（t+3）²-3，t∈[2，

5

2

]，
當(dāng)t=

5

2

時(shí)，函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x²）的最大值為

109

4

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)在半?yún)^(qū)間上最值的求法，考查了配方的技巧，解題的關(guān)鍵是將求復(fù)合函數(shù)最值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化求外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值域上的最值問(wèn)題，這是復(fù)合函數(shù)求最值，求值域時(shí)常采用的解題技巧