Question

如圖，平面四邊形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB為球O的直徑，P為球面上一點(diǎn)，且PO⊥平面ABCD，BC=CD=DA=2，點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PBC∥平面ODM；
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先根據(jù)平行線的傳遞性證明線面平行，再根據(jù)線面平行證明面面平行．
（2）設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h．由圖可知V_P-ABC=V_A-PBC，利用體積公式計(jì)算即可．

解答： 解．（1）證明：∵AB為球O的直徑，BC=CD=DA=2，
∴AB∥CD，CD∥BO，且CD=BO，
即四邊形OBCD為平行四邊形，
∴BC∥OD．
∵AO=BO，AM=PM，
∴OM∥PB，
∴OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，
∵OD∩OM=O，0D?平面ODM，OM?平面ODM，
∴平面ODM∥平面PBC
（2）設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h．由圖可知V_P-ABC=V_A-PBC，
即

1

3

×

1

2

×2×2

3

×2=

1

3

×

1

2

×2×

7

×h
則h=

4 21

7

，
即點(diǎn)A到平面PBC的距離為

4 21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的判定以及點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．