Question

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是.

(1)求的值及函數(shù)的最大值；

(2)若實(shí)數(shù)滿足.

(i)證明：；

(ii)若，證明：.

Answer 1

【答案】(1)；0.

(2) （ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：第一問利用題中所給的條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)應(yīng)該在切線上，建立關(guān)于的等量關(guān)系式，解方程組求得的值，從而確定出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求導(dǎo)函數(shù)的最大值，第二問將問題轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，證得結(jié)果.

詳解：（Ⅰ），

由題意有，解得．

故，，

，所以在為增函數(shù)，在為減函數(shù)．

故有當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）證明：

（ⅰ），

由（Ⅰ）知，所以，即.

又因?yàn)?/span>（過程略），所以，故.

（ⅱ）法一：

由（1）知

法二：，

構(gòu)造函數(shù)，，

因?yàn)?/span>，所以，

即當(dāng)時(shí)，，所以在為增函數(shù)，

所以，即，故