Question

（2012•河西區(qū)一模）設(shè)定義域為r的函數(shù)f（x）=

|lgx|        x＞0 -x2-2x      x≤0

，若關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）+2bf（x）+1有8個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A．-

  3

  2

  ＜b＜

  2

• B．-

  3

  2

  ＜b＜-

  2

• C．-2＜b＜-

  2

• D．-

  3

  2

  ＜b＜-

  2

  或b＞

  2

Answer 1

分析：先將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題．同時在結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，確定b的取值范圍．

解答：解：令t=f（x），則原函數(shù)等價為y=2t²+2bt+1．做出函數(shù)f（x）的圖象如圖：，
圖象可知當(dāng)由0＜t＜1時，函數(shù)t=f（x）有四個交點．
所以要使關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）+2bf（x）+1有8個不同的零點，則函數(shù)y=2t²+2bt+1有兩個根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1．
令g（t）=2t²+2bt+1，則由根的分布可得

△＞0 g(0)＞0 g(1)＞0 0＜- 2b 2×2 ＜1

，即

△=4b2-8＞0 g(0)=1＞0 g(1)=2b+3＞0 -2＜b＜0

，
解得

b＞ 2 或b＜- 2 b＞- 3 2 -2＜b＜0

，即-

3

2

＜b＜-

2

，所以實數(shù)b的取值范圍是-

3

2

＜b＜-

2

．
故選B．

點評：本題考查復(fù)合函數(shù)零點的個數(shù)問題，以及二次函數(shù)根的分布，解決本題的關(guān)鍵是利用換元，將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)，換元是解決這類問題的關(guān)鍵．