Question

20．已知動圓M的圓心M在y軸右側(cè)，且動圓M與圓（x-1）²+y²=1外切，與y軸相切．
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）已知點G（m，0）（m＞0）為曲線E內(nèi)的一定點，過點G作兩條直線l₁，l₂分別交曲線E于點A、B與點C、D，且P、Q分別是AB、CD的中點，若l₁，l₂的斜率之和為1，求證：直線PQ過定點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），x＞0，由題意可得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，化簡即可得出點M的軌跡E的方程．
（2）設(shè)直線l₁，l₂的方程分別為：y=k（x-m），y=（1-k）（x-m）．設(shè)（x_i，y_i），i=1，2，3，4，分別表示點A，B，C，D的坐標．直線方程分別與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點坐標公式即可得出P，Q坐標，可得k_PQ，得出直線PQ的方程即可得出．

解答 （1）解：設(shè)M（x，y），x＞0，由題意可得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，化為：y²=4x．
∴點M的軌跡E的方程為：y²=4x．
（2）證明：設(shè)直線l₁，l₂的方程分別為：y=k（x-m），y=（1-k）（x-m）（k≠1，0）．
設(shè)（x_i，y_i），i=1，2，3，4，分別表示點A，B，C，D的坐標．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：ky²-4y-4km=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$=2y_P，解得y_P=$\frac{2}{k}$，∴x_P=m+$\frac{2}{{k}^{2}}$，∴P$（m+\frac{2}{{k}^{2}}，\frac{2}{k}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=（1-k）（x-m）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：（1-k）y²-4y-4m（1-k）=0，
∴y₃+y₄=$\frac{4}{1-k}$=2y_Q，解得y_Q=$\frac{2}{1-k}$，∴x_Q=m+$\frac{2}{（1-k）^{2}}$，∴Q$（m+\frac{2}{（1-k）^{2}}，\frac{2}{1-k}）$．
∴k_PQ=$\frac{\frac{2}{k}-\frac{2}{1-k}}{m+\frac{2}{{k}^{2}}-（m+\frac{2}{（1-k）^{2}}）}$=k（1-k）．
∴直線PQ的方程為：y-$\frac{2}{k}$=（k-k²）$（x-m-\frac{2}{{k}^{2}}）$，
化為：y=（k-k²）（x-m）+2，令x=m，可得y=2，
∴直線PQ經(jīng)過定點（m，2）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．