Question

設k∈R，函數(shù)f(x)=

1 1-x x＜1 - x-1 x≥1

，F(xiàn)（x）=f（x）-kx，x∈R，試討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：先求出F（x）的解析式，然后求出導函數(shù)，討論x與1的大小，然后分別討論k與0的大小，根據(jù)導函數(shù)F′（x）的符號得到函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：
F(x)=f(x)-kx=

1 1-x -kx x＜1 - x-1 -kx x≥1

F′(x)=

1 (1-x)2 -k x＜1 - 1 2 x-1 -k x≥1

對于F(x)=

1

1-x

-kx(x＜1)，
當k≤0時，函數(shù)F（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)；
當k＞0時，函數(shù)F（x）在(-∞，1-

1

k

)上是減函數(shù)，在(1-

1

k

，1)上是增函數(shù)；
對于F(x)=-

1

2 x-1

-k(x≥1)，
當k≥0時，函數(shù)F（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
當k＜0時，函數(shù)F（x）在[1，1+

1

4k2

)上是減函數(shù)，在[1+

1

4k2

，+∞)上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，以及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．