Question

對于函數(shù)：
（Ⅰ） 是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？
（Ⅱ） 探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性（不用證明），并求出函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為f（x）的定義域為R，所以f（0）=0，代入函數(shù)解析式即可解得a的值，再利用奇函數(shù)的定義證明此時的函數(shù)為奇函數(shù)即可；
（II）先利用復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再利用復(fù)合函數(shù)法求此函數(shù)的值域即可
解答：解：（Ⅰ）假設(shè)存在實數(shù)a函數(shù)是奇函數(shù)，因為f（x）的定義域為R，
所以f（0）=a-1=0，所以a=1
此時，則，
所以f（x）為奇函數(shù)
即存在實數(shù)a=1使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因為2^x+1在R上遞增，所以在R上遞減，所以在R上遞增．
∵2^x+1＞1，
∴，
∴，
即函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）
點評：本題考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的值域，分清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成是解決本題的關(guān)鍵