Question

（本題滿分14分）如圖,三棱柱中,,,平面平面,與相交于點.

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析 ；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明直線和平面垂直的常用方法：（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推論（）．（3）利用面面平行的性質(zhì)（）．（4）利用面面垂直的性質(zhì)．本題即是利用面面垂直的性質(zhì)；（Ⅱ）求面面角方法一是傳統(tǒng)方法，作出二面角，難度較大，一般不采用，方法二是向量法，思路簡單，運算量稍大，一般采用向量法.

試題解析：（Ⅰ）依題意,側(cè)面是菱形,是的中點,因為,所以,

又平面平面,且平面,平面平面

所以平面. 5分

（Ⅱ）[傳統(tǒng)法]由（Ⅰ）知平面,面,所以,

又,,所以平面,

過作,垂足為,連結(jié),則,

所以為二面角的平面角. 9分

在中,,

所以, 12分

所以,即二面角的余弦值是. 14分

[向量法]以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 6分

由已知可得

故,

則, 8分

設(shè)平面的一個法向量是,

則,即,解得

令,得 11分

顯然是平面的一個法向量, 12分

所以,即二面角的余弦值是. 14分

考點：線面垂直、二面角