Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設(shè)F（x）=ax²+f'（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）斜率為k的直線與曲線y=f'（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，求證：．

Answer 1

（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．（2分）
∵當(dāng)時，f'（x）＜0；當(dāng)時，f'（x）＞0，
∴當(dāng)時，．
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），．
①當(dāng)a≥0時，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時，令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得；
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得．
綜上，當(dāng)a≥0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）證：．
要證，即證，
等價于證，
令，
則只要證，由t＞1知lnt＞0，故等價于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．
①設(shè)g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），則，
故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t＞1時，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．
②設(shè)h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），
故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t＞1時，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得證．