Question

已知函數(shù)f(x)=1－的定義域為［－5，0］，它的反函數(shù)為y=f^－1(x)，且點P(－2，－4)在y=f^－1(x)的圖象上，

(1)求實數(shù)a的值，并求y=f^－1(x)；

(2)并證明函數(shù)與反函數(shù)在其定義域上遞減.

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知P′(－4，－2)在函數(shù)f(x)=1－的圖象上，即－2=1－，解得a=－1. 由－5≤x≤0得，0≤－x2+25≤25，則－4≤1－≤1 ∴函數(shù)f(x)=1－的值域為［－4，1］ 設(shè)y=f(x)=1－，則 x2=25－(1－y)2，又－5≤x≤0， x=－ ∴f－1(x)=－，x∈［－4，1］ (2)設(shè)－5≤x1≤x2≤0，即x1－x2<0，x1+x2<0 f(x1)－f(x2)=(1－)－(1－) =－ = 即f(x1)>f(x2) ∴f(x)=1－在定義域［－5，0］上遞減 設(shè)－4≤x1≤x2≤1，則x2－x1>0，2－x1－x2>0 f－1(x1)－f－1(x2)=［－］－［－］ = =>0 即f－1(x1)>f－1(x2) 因此f－1(x)=－在［－4，1］上遞減.