Question

設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且，若過A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓恰好與直線l：相切。過定點(diǎn)M（0，2）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)（點(diǎn)G在點(diǎn)M，H之間），
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁的斜率k＞0，在x軸上是否存在點(diǎn) P（m，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若實數(shù)λ滿足，求λ的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為，
所以的中點(diǎn)，
設(shè)Q的坐標(biāo)為（-3c，0），
因為，
所以，且過三點(diǎn)的圓的圓心為，半徑為2c，
因為該圓與直線l相切，所以，解得c=1，
所以，
故所求橢圓方程為；
（Ⅱ）設(shè)l₁的方程為y=kx+2（k＞0），
由得，
設(shè)，則，
所以
，
，
由于菱形對角線互相垂直，則，
所以，
故，
因為k＞0，所以，
所以，
即，
所以，
解得，即，
因為k＞0，所以，
故存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是。
（Ⅲ）①當(dāng)直線l₁斜率存在時，設(shè)直線l₁方程為y=kx+2，
代入橢圓方程得，
由△＞0，得，
設(shè)，
則，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，整理得，
因為，
所以，即，
所以，
解得，
又0＜λ＜1，所以；
②又當(dāng)直線l₁斜率不存在時，直線l₁的方程為x=0，
此時，，
所以，
所以，
即所求λ的取值范圍是。