Question

（本題滿分14分）已知

（1）證明：

（2）若在恒成立，求的最小值.

（3）證明：圖像恒在直線的上方.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）的最小值為；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）考慮利用導(dǎo)數(shù)考查在上的單調(diào)性，從而將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值：， 即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即結(jié)論成立；（2）分析可知，問題等價于求函數(shù)在上的值域，通過求導(dǎo)考查單調(diào)性即可知，，要使成立，只需在恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再次利用導(dǎo)數(shù)考查單調(diào)性即可知，從而的最小值為；（3）分析可知，問題等價于證明在上恒成立，故考慮利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)在上的單調(diào)性，從而問題就等價轉(zhuǎn)化為證明.

試題解析：（1）∵，∴， 即在上單調(diào)遞增， 2分

∴當(dāng)時，，即結(jié)論成立； 3分（2）令，則，， 4分 ∴當(dāng)時，，

要使，只需， 5分 要使成立，只需在恒成立， 6分

令，，則，由，

當(dāng)時， 此時，有成立，

∴滿足條件，當(dāng)時，，此時，有，不符合題意，舍去，

當(dāng)時，令，得，可得當(dāng)時，，即時，，不符合題意舍去，綜上，， 9分

又∵，∴的最小值為； 10分

（3）由題意只需證，即證在上恒成立，

令，， 11分

，即在單調(diào)遞增，

又∵，∴在在唯一的解，記為，，

且，即， 12分

可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，

∴只需最小值， 13分

易得，，∴，∴結(jié)論得證. 14分

考點：利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性.