Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PD⊥底面ABCD．
（1）求證：△PAB≌△PCB；
（2）求證：AC⊥PB；
（3）若PD=2

2

，AB=

5

，二面角A-BP-C為120°，求四菱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PD⊥底面ABCD，可得PA=PC，AB=AC，即可證明：△PAB≌△PCB；
（2）證明：AC⊥平面PDB，即可證明AC⊥PB；
（3）若PD=2

2

，AB=

5

，二面角A-BP-C為120°，求出ABCD的面積，即可求出體積．

解答： （1）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PD⊥底面ABCD，
∴PA=PC，AB=AC，
∵PB=PB，
∴△PAB≌△PCB；
（2）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥PD，BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB，
∵PB?平面PDB，
∴AC⊥PB；
（3）解：作AE⊥PB，連接CE，則CE⊥PB，
∴∠AEC=120°，
∵PD=2

2

，AB=

5

，
∴PA=

13

，PB=3

2

，
∴AE=

65

3 2

，
∴由余弦定理可得AC=

65 18 + 65 18 -2• 65 18 •(- 1 2

)=

65 6

，
∴cos∠ABC=

5+5- 65 6

2• 5 • 5

=-

1

12

，
∴sin∠ABC=

143

12

，
∴S_ABCD=

5 143

12

，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

•

5 143

12

•2

2

=

5 286

18

．

點評：本題考查三角形全等的證明，考查線面垂直，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．