Question

3．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$結(jié)合三角函數(shù)可得最值．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1
=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]（k∈Z）；
（2）∵x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值$\sqrt{2}$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角形的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題．