Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^xsinx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)各段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）=e^xsinx在（0，π）內(nèi)的極值，比較端點處的函數(shù)值后得函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=e^xsinx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）=

2

exsin(x+

π

4

)．
由f′（x）≤0，得sin(x+

π

4

)≤0，
∴2kπ≤x+

π

4

≤2kπ+2π，即2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

．
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

]，k∈Z；
（2）∵x∈[0，π]，
由（1）知，x∈[0，

3π

4

]是單調(diào)增區(qū)間，x∈[

3π

4

，π]是單調(diào)減區(qū)間，又f(0)=0，f(π)=0，f(

3

4

π)=

2

2

e

3

4

π，
∴fmax=f(

3π

4

)=

2

2

e

3π

4

，f_min=f（0）=f（π）=0．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．屬難題．