Question

20.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x²+2ax，g(x)=3a²lnx+b，其中a＞0.設(shè)兩曲線y=f(x)，y=g(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同.

（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；

（Ⅱ）求證：f(x) ≥g(x)  (x＞0).

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)，不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

解：（Ⅰ）設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x＞0)在公共點(diǎn)(x₀,y₀)處的切線相同。

，，由題意f(x₀)=g(x₀),f′(x₀)=g′(x₀).

即由得：x₀=a,或x₀=-3a(舍去)。

即有

令，則.于是

當(dāng)t(1-3lnt)＞0,即時(shí)，h′(t)＞0;

當(dāng)t(1-3lnt)＜0,即時(shí)，h′(t)＜0.

故h(t)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)。

于是h(t)在的最大值為。

（Ⅱ）設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=x²+2ax-3a²lnx-b(x＞0).

則。

故F(x)在(0,a)為減函數(shù)，在為增函數(shù)。

于是函數(shù)F(x)在上的最小值是F(a)=F(x₀)=f(x₀)-g(x₀)=0.

故當(dāng)x＞0時(shí)，有f(x)-g(x)≥0，即當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)≥g(x).