Question

15．已知圓C的方程是x²+y²=1，點A（1，0），直線l與圓C相交于P、Q兩點（不同于A），
（1）若∠PAQ=90°，則直線l必經(jīng)過圓心O；
（2）若直線l經(jīng)過圓心O，則∠PAQ=90°．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AP的方程是x=my+1，代入圓的方程，求得P的坐標(biāo)，再由垂直設(shè)出AQ的方程，同樣求得Q的坐標(biāo)，再由斜率相等，即可得到直線l必經(jīng)過圓心O；
（2）若直線l經(jīng)過圓心O，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），求出直線AP，AQ的斜率，運用兩直線垂直的條件，即可得證．

解答 證明：（1）設(shè)直線AP的方程是x=my+1，
代入x²+y²=1得（m²+1）y²+2my=0，
因為y≠0，所以y=-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，從而得P（$\frac{1-{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$），
因為∠PAQ=90°，所以直線AQ的方程x=-$\frac{1}{m}$x+1，
以-$\frac{1}{m}$代換點Q坐標(biāo)中的m，得Q（$\frac{{m}^{2}-1}{1+{m}^{2}}$，$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$），
當(dāng)m²≠1時，直線OP、OQ的斜率分別為k₁，k₂，顯然k₁=k₂=$\frac{2m}{{m}^{2}-1}$，
即直線l經(jīng)過圓心O；
當(dāng)m²=1時，P（0，1），Q（0，-1），顯然直線l經(jīng)過圓心O，
綜上若∠PAQ=90°，則直線l必經(jīng)過圓心O．
（2）若直線l經(jīng)過圓心O，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
顯然，直線AP，AQ的斜率存在，
直線AP的斜率為k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$，直線AQ的斜率為k₂=$\frac{-{y}_{1}}{-{x}_{1}-1}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$，
則k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-1}$，由x₁²+y₁²=1，
即有k₁•k₂=-1，則∠PAQ=90°．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，同時考查直線的斜率公式的運用和兩直線垂直的條件的運用，屬于中檔題．