Question

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）證明：CM∥平面BDF；
（2）求四面體DEFB的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）通過證明CM∥OF，進一步證明CM∥平面BDF
（2）平面ACEF⊥平面ABCD正方形對角線AC⊥BD，∴OD⊥平面ACEF同理可得：OB是四棱錐B-ACEF的高，進一步可證：AF是三棱錐F-ABD的高，EC是三棱錐E-CBD的高在正方形ABCD中，AC=BD=2，進一步利用分割法
求出四面體的體積．

解答： 證明：連結(jié)AC，BD交于點O，連結(jié)OF
∴O是AC的中點，
∵M是EF的中點，
∴CO∥MF，CO=MF
∴四邊形OCMF是平行四邊形．
∴CM∥OF
∵CM?平面BDF，OF?平面BDF
∴CM∥平面BDF
（2）∵平面ACEF⊥平面ABCD
正方形對角線AC⊥BD
∴OD⊥平面ACEF
同理可得：OB是四棱錐B-ACEF的高
進一步可證：AF是三棱錐F-ABD的高，EC是三棱錐E-CBD的高
在正方形ABCD中，AC=BD=2
∴OD=OB=1
V_{四面體DEFB}=V_{四棱錐D-ACEF}+V_{四棱錐B-ACEF}-V_{三棱錐F-ABD}-V_{三棱錐E-CBD}
=

1

3

OD•AF•AC+

1

3

OB•AF•AC-

1

3

AF•(

1

2

AD•AB)-

1

3

EC•(

1

2

CD•CB）
=

2

3

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)定理，以及分割法在體積運算公式中的運算．