Question

9．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其前n項和是S_n，a₁+2a₂=0，${S_4}-{S_2}=\frac{1}{8}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）求滿足${a_n}≥\frac{1}{16}$的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式即可得出；
（Ⅱ）分類討論：當n是偶數(shù)時；當n是奇數(shù)時，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{a_n}公比是q，
∵a₁+2a₂=0，∴q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$．
∵S₄-S₂=$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{{a}_{1}（1-（-\frac{1}{2}）^{4}）}{1-（-\frac{1}{2}）}$-（a₁-$\frac{1}{2}$a₁）=$\frac{1}{8}$，
解得a₁=1，
∴a_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
（Ⅱ）∵${a_n}≥\frac{1}{16}$，
∴（-$\frac{1}{2}$）^n-1≥$\frac{1}{16}$，可知：當n是偶數(shù)時，此不等式不成立．
當n是奇數(shù)時，（-$\frac{1}{2}$）^n-1≥（$\frac{1}{2}$）⁴可化為，∴n-1≤4，解得n≤5．
但n是正整數(shù)，故使原不等式成立的n的集合為{1，3，5}．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．